本文主要说明一个线性代数的主要结论-正交矩阵的凯莱公式：
对于任何正交矩阵 $R$, 存在一个反对称矩阵 $S$, 满足 $R=(I_3-S)^{-1}(I_3+S)$ ，此记！
对于原点 $O$ 的一个旋转表示为：
\begin{equation}
P’=AP
\end{equation}
其中， $A$ 是一个正交矩阵。因为旋转后的向量长度不发生变化，所以 $({OP})^2=({OP’})^2$ ，并且
$$P’\cdot P’-P\cdot P=0$$
或者表示为：
\begin{equation}
(P’-P)\cdot (P’+P)=0
\end{equation}
其中， $P$ 是任意向量。因此可以得到 $f=P’-P$ 和 $g=P’+P$ 是正交向量。将 $f$，$g$ 和 $P$ 以列向量的形式表示，得到
\begin{equation}
f=(A-I)P, g=(A+I)P, f\cdot g=0
\end{equation}
排除 $-1$ 是矩阵 $A$ 的特征值的特例， $A+I$ 就是一个非奇异矩阵，并且
\begin{equation}
P=(A+I)^{-1}g
\end{equation}
那么，
$$f=(A-I)(A+I)^{-1}g.$$
假设
\begin{equation}
(A-I)(A+I)^{-1}=B，\star
\end{equation}
那么，
\begin{equation}
f=Bg
\end{equation}
假设 $B=[b_{ik}]$ ， $g_i$ 是向量 $g$ 的元素。那么，对于任意的向量 $g$ ， $f\cdot g=0$ 可以改写为：
$$\sum_{i,k}(b_{ik}+b_{ki})g_ig_k=0$$
那么就可以得到：对于所有的 $i,k$ ， $b_{ik}+b_{ki}=0$ 。因此矩阵$B$是反对称矩阵(skew matrix)。根据公式 $\star$ 可得：
$$A-I=B(A+I)$$
或者
\begin{equation}
(I-B)A=I+B
\end{equation}
我们知道，如果矩阵$B$是一个实反对称矩阵，那么 $|B|\geq 0$ 。因此， $|B+\lambda I|$ 是关于 $\lambda$ 的带非负系数的多项式，并且除了取 $\lambda=0$ 外多项式的值不为0。也就说 $|B-I|\neq 0$ 。
可以得到结论：对于任意的 $-1$ 不是它的特征值的正交矩阵，正交矩阵可以写为：
\begin{equation}
A=(I-B)^{-1}(I+B)
\end{equation}
其中， $B$ 是反对称矩阵，以上公式成为称为凯莱公式。
参考文献：
[1]Bottema O, Roth B. Theoretical Kinematics[M]. North-holland Publishing, 1979，pp: 9-10.
